// ───────────────────────────────────────────────────────────────────────────── // §1. НАТУРАЛ КӨРСЕТКІШТІ ДӘРЕЖЕ — 7-сынып алгебра, I бөлім «Бүтін көрсеткішті // дәреже». Екі оқулықтың §1-і қатар қамтылған: // A — «Алгебра 7», 22–27-беттер: 1–4-мысалдар және 1.1–1.19 жаттығулары; // B — «Алгебра 7», 12–14-беттер: 1.1–1.19 жаттығулары. // // Тапсырма түрі ← дереккөзі: // int-power ← A 1.4 1),3); B 1.2; 2-мысал 1),3) // dec-power ← A 1.4 2),4); B 1.3 4),5); 2-мысал 2) // frac-power ← A 1.5; B 1.3 1),2),3),6),7),8) // sign-forms ← B 1.7; B 1.5 кестелері // write-power ← A 1.1, 1.2; B 1.1, 1.11 // as-square ← B 1.6 1); A 1-мысал 3) // as-cube ← B 1.6 2); A 1-мысал 1),2) // as-power-of ← B 1.12; A 1-мысал 4) // ops-two ← A 1.7 // ops-trap ← A 1.8; B 1.9 1) // ops-frac ← A 1.9; 3-мысал 2) // ops-mixed ← A 1.11; B 1.9 3),4); 3-мысал 1) // ops-long ← A 1.13 // subst-two ← B 1.14; B 1.8 // subst-poly ← B 1.17 // subst-frac ← B 1.18 // simplify-coef ← B 1.13 // last-digit ← A 1.12, 1.16; 4-мысал // cmp-zero ← B 1.10 // cmp-value ← A 1.15 // cmp-power ← A 1.18, 1.19 // word-geo ← A §1 ✦ (қыры 1,5 м куб пішінді бассейн) // word-stat ← A 1.10, 1.14 // // Қамтылмағаны (жауабы сан емес, пернетақтаға сыймайды): A 1.3 және B 1.4 // «дәрежені көбейтінді түрінде жаз», B 1.15 «өрнек түрінде жаз», B 1.16 және // B 1.19 «дәлелдеңдер». B 1.13-тің бөлшекті түрі де алынбады — жауабы өрнек; // оның орнына simplify-coef коэффициент пен көрсеткішті сұрайды, яғни // ықшамдалған өрнекті толық анықтайды. // // Салыстыру тапсырмалары (cmp-*) пернетақтамен емес, `compare` кірпішімен // жауап алады: бұл тақырыпта дағды — санды қайта теру емес, ТАҢБА қою. // ───────────────────────────────────────────────────────────────────────────── registerDrillTopic({ apiVersion: 1, id: "natural-power", title: { kz: "Натурал көрсеткішті дәреже", ru: "Степень с натуральным показателем", }, subtitle: { kz: "7-сынып, §1: дәрежеге шығару, таңба ережесі, амалдар реті, өрнектің мәні", ru: "7 класс, §1: возведение в степень, знак, порядок действий, значение выражения", }, options: [ { id: "kinds", label: { kz: "Есеп түрлері", ru: "Типы заданий" }, choices: [ { id: "int-power", section: { kz: "Дәрежеге шығару", ru: "Возведение в степень" }, label: { kz: "Бүтін санның дәрежесі", ru: "Степень целого числа" }, examples: [ { kz: "Есепте: $\\left(-8\\right)^{4}$ → $4096$", ru: "Вычислите: $\\left(-8\\right)^{4}$ → $4096$" }, ], }, { id: "dec-power", section: { kz: "Дәрежеге шығару", ru: "Возведение в степень" }, label: { kz: "Ондық бөлшектің дәрежесі", ru: "Степень десятичной дроби" }, examples: [ { kz: "Есепте: $1{,}4^{3}$ → $2{,}744$", ru: "Вычислите: $1{,}4^{3}$ → $2{,}744$" }, ], }, { id: "frac-power", section: { kz: "Дәрежеге шығару", ru: "Возведение в степень" }, label: { kz: "Жай және аралас бөлшектің дәрежесі", ru: "Степень обыкновенной и смешанной дроби" }, examples: [ { kz: "Есепте: $\\left(1\\frac{4}{5}\\right)^{3}$ → $\\frac{729}{125}$", ru: "Вычислите: $\\left(1\\frac{4}{5}\\right)^{3}$ → $\\frac{729}{125}$" }, ], }, { id: "sign-forms", section: { kz: "Дәрежеге шығару", ru: "Возведение в степень" }, label: { kz: "x², −x², (−x)² — үшеуі бірге", ru: "x², −x², (−x)² — все три" }, examples: [ { kz: "$x = -4$: $x^2$; $-x^2$; $(-x)^2$ → $16$; $-16$; $16$", ru: "$x = -4$: $x^2$; $-x^2$; $(-x)^2$ → $16$; $-16$; $16$" }, ], }, { id: "write-power", section: { kz: "Дәрежеге шығару", ru: "Возведение в степень" }, label: { kz: "Көбейтіндіні дәреже түрінде жазу", ru: "Произведение в виде степени" }, examples: [ { kz: "$9 \\cdot 9 \\cdot 9 \\cdot 9 \\cdot 9$ → көрсеткіші $5$", ru: "$9 \\cdot 9 \\cdot 9 \\cdot 9 \\cdot 9$ → показатель $5$" }, ], }, { id: "as-square", section: { kz: "Кері есеп", ru: "Обратная задача" }, label: { kz: "Квадрат түрінде жазу", ru: "Запись в виде квадрата" }, examples: [ { kz: "$a^2 = 0{,}49$, $a > 0$ → $0{,}7$", ru: "$a^2 = 0{,}49$, $a > 0$ → $0{,}7$" }, ], }, { id: "as-cube", section: { kz: "Кері есеп", ru: "Обратная задача" }, label: { kz: "Куб түрінде жазу", ru: "Запись в виде куба" }, examples: [ { kz: "$a^3 = -64$ → $-4$", ru: "$a^3 = -64$ → $-4$" }, ], }, { id: "as-power-of", section: { kz: "Кері есеп", ru: "Обратная задача" }, label: { kz: "Берілген негіздің дәрежесі", ru: "Степень с данным основанием" }, examples: [ { kz: "$625 = 5^{n}$ → $n = 4$", ru: "$625 = 5^{n}$ → $n = 4$" }, ], }, { id: "ops-two", section: { kz: "Амалдар реті", ru: "Порядок действий" }, label: { kz: "Екі мүшелі өрнек", ru: "Выражение из двух слагаемых" }, examples: [ { kz: "Амалдарды орында: $5^{2} - 200$ → $-175$", ru: "Выполните действия: $5^{2} - 200$ → $-175$" }, ], }, { id: "ops-trap", section: { kz: "Амалдар реті", ru: "Порядок действий" }, label: { kz: "Жақша мен таңба", ru: "Скобки и знак" }, examples: [ { kz: "Амалдарды орында: $0{,}7 - 1{,}3^{2}$ → $-0{,}99$", ru: "Выполните действия: $0{,}7 - 1{,}3^{2}$ → $-0{,}99$" }, ], }, { id: "ops-frac", section: { kz: "Амалдар реті", ru: "Порядок действий" }, label: { kz: "Бөлшекті өрнек", ru: "Дробное выражение" }, examples: [ { kz: "$\\left(-\\frac{1}{3}\\right)^{3} + \\frac{22}{27}$ → $\\frac{7}{9}$", ru: "$\\left(-\\frac{1}{3}\\right)^{3} + \\frac{22}{27}$ → $\\frac{7}{9}$" }, ], }, { id: "ops-mixed", section: { kz: "Амалдар реті", ru: "Порядок действий" }, label: { kz: "Көбейту және бөлу", ru: "Умножение и деление" }, examples: [ { kz: "Амалдарды орында: $7^{2} \\cdot 2^{3} + 608$ → $1000$", ru: "Выполните действия: $7^{2} \\cdot 2^{3} + 608$ → $1000$" }, ], }, { id: "ops-long", section: { kz: "Амалдар реті", ru: "Порядок действий" }, label: { kz: "Ұзын өрнек", ru: "Длинное выражение" }, examples: [ { kz: "$10^{3} - 15^{2} : 9 + \\left(\\frac{2}{3}\\right)^{3} \\cdot 27$ → $983$", ru: "$10^{3} - 15^{2} : 9 + \\left(\\frac{2}{3}\\right)^{3} \\cdot 27$ → $983$" }, ], }, { id: "subst-two", section: { kz: "Өрнектің мәні", ru: "Значение выражения" }, label: { kz: "Екі әріпті өрнек", ru: "Выражение с двумя буквами" }, examples: [ { kz: "$a = -17$, $b = -2$: $3a^{2} - 2b^{3}$ → $883$", ru: "$a = -17$, $b = -2$: $3a^{2} - 2b^{3}$ → $883$" }, ], }, { id: "subst-poly", section: { kz: "Өрнектің мәні", ru: "Значение выражения" }, label: { kz: "Бір әріпті көпмүше", ru: "Многочлен с одной буквой" }, examples: [ { kz: "$a = -1$: $2a^{5} - 5a^{4} + a^{3} - 3a^{2}$ → $-11$", ru: "$a = -1$: $2a^{5} - 5a^{4} + a^{3} - 3a^{2}$ → $-11$" }, ], }, { id: "subst-frac", section: { kz: "Өрнектің мәні", ru: "Значение выражения" }, label: { kz: "Бөлшек өрнектің мәні", ru: "Значение дробного выражения" }, examples: [ { kz: "$a = -\\frac{1}{2}$, $b = -\\frac{1}{3}$: $\\frac{2a^{4} - 3b^{3}}{1 - a^{2}}$ → $\\frac{17}{54}$", ru: "$a = -\\frac{1}{2}$, $b = -\\frac{1}{3}$: $\\frac{2a^{4} - 3b^{3}}{1 - a^{2}}$ → $\\frac{17}{54}$" }, ], }, { id: "simplify-coef", section: { kz: "Өрнектің мәні", ru: "Значение выражения" }, label: { kz: "Ұқсас мүшелерді біріктіру", ru: "Приведение подобных" }, examples: [ { kz: "$x^{2} + 3x^{2} - 5x^{2} = k \\cdot x^{n}$ → $k = -1$, $n = 2$", ru: "$x^{2} + 3x^{2} - 5x^{2} = k \\cdot x^{n}$ → $k = -1$, $n = 2$" }, ], }, { id: "last-digit", section: { kz: "Соңғы цифр", ru: "Последняя цифра" }, label: { kz: "Соңғы цифрды табу", ru: "Найти последнюю цифру" }, examples: [ { kz: "$8^{25} + 5^{13} - 7^{14}$ → $4$", ru: "$8^{25} + 5^{13} - 7^{14}$ → $4$" }, ], }, { id: "cmp-zero", section: { kz: "Салыстыру (таңба қою)", ru: "Сравнение (поставить знак)" }, label: { kz: "Таңба бойынша салыстыру", ru: "Сравнение по знаку" }, examples: [ { kz: "$\\left(-2{,}7\\right)^{10}$ … $\\left(-9{,}2\\right)^{13}$ → $>$", ru: "$\\left(-2{,}7\\right)^{10}$ … $\\left(-9{,}2\\right)^{13}$ → $>$" }, ], }, { id: "cmp-value", section: { kz: "Салыстыру (таңба қою)", ru: "Сравнение (поставить знак)" }, label: { kz: "Мәндерін салыстыру", ru: "Сравнение значений" }, examples: [ { kz: "$8^{3} - 600$ … $17^{2} - 4^{4}$ → $<$", ru: "$8^{3} - 600$ … $17^{2} - 4^{4}$ → $<$" }, ], }, { id: "cmp-power", section: { kz: "Салыстыру (таңба қою)", ru: "Сравнение (поставить знак)" }, label: { kz: "Дәрежелерді салыстыру", ru: "Сравнение степеней" }, examples: [ { kz: "$5^{3} \\cdot 5$ … $5^{5}$ → $<$", ru: "$5^{3} \\cdot 5$ … $5^{5}$ → $<$" }, ], }, { id: "word-geo", section: { kz: "Мәтінді есеп", ru: "Текстовая задача" }, label: { kz: "Куб пен квадрат", ru: "Куб и квадрат" }, examples: [ { kz: "Қыры $1{,}5$ м куб пішінді бассейнге неше литр су сыяды? → $3375$", ru: "Сколько литров воды вмещает бассейн в форме куба с ребром $1{,}5$ м? → $3375$" }, ], }, { id: "word-stat", section: { kz: "Мәтінді есеп", ru: "Текстовая задача" }, label: { kz: "Орташа мән және пайыз", ru: "Среднее и проценты" }, examples: [ { kz: "$72; 83; 76; 80; 84; 88; 77$ — орташасының квадраты → $6400$", ru: "$72; 83; 76; 80; 84; 88; 77$ — квадрат среднего → $6400$" }, ], }, ], defaults: [ "int-power", "dec-power", "frac-power", "sign-forms", "write-power", "as-square", "as-cube", "as-power-of", "ops-two", "ops-trap", "ops-frac", "ops-mixed", "subst-two", "subst-poly", "simplify-coef", "last-digit", "cmp-zero", "cmp-value", "word-geo", "word-stat", ], }, { id: "level", label: { kz: "Сандардың күрделілігі", ru: "Сложность чисел" }, choices: [ { id: "easy", label: { kz: "Оңай", ru: "Лёгкий" } }, { id: "mid", label: { kz: "Орта", ru: "Средний" } }, { id: "hard", label: { kz: "Қиын", ru: "Сложный" } }, ], defaults: ["easy", "mid"], }, ], levels: [ { label: { kz: "1-деңгей. Дәреже деген не", ru: "Уровень 1. Что такое степень" }, config: { kinds: ["write-power", "int-power", "as-power-of", "ops-two"], level: ["easy"], }, }, { label: { kz: "2-деңгей. Таңба ережесі", ru: "Уровень 2. Правило знаков" }, config: { kinds: ["int-power", "dec-power", "sign-forms", "as-square", "as-cube", "ops-two", "ops-trap", "cmp-zero"], level: ["easy", "mid"], }, }, { label: { kz: "3-деңгей. Амалдар реті", ru: "Уровень 3. Порядок действий" }, config: { kinds: ["frac-power", "ops-frac", "ops-mixed", "subst-two", "subst-poly", "last-digit", "cmp-value", "word-geo", "word-stat"], level: ["mid"], }, }, { label: { kz: "4-деңгей. Күрделі өрнектер", ru: "Уровень 4. Сложные выражения" }, config: { kinds: ["ops-long", "ops-mixed", "subst-frac", "simplify-coef", "last-digit", "cmp-power"], level: ["hard"], }, }, ], generate(rng, config) { // ── Арифметика. Рационал сан = [алым, бөлім], бөлімі әрқашан оң. ───────── // Барлық есеп рационал сандармен САНАЛАДЫ (float емес) — сондықтан жауап // әрдайым дәл, ал ондық жазу да дәл шығады. const gcd = (a, b) => (b === 0 ? Math.abs(a) : gcd(b, a % b)); const ipow = (a, n) => { let r = 1; for (let i = 0; i < n; i++) r *= a; return r; }; const rat = (n, d) => { let dd = d === undefined ? 1 : d; let nn = n; if (dd < 0) { nn = -nn; dd = -dd; } const g = gcd(Math.abs(nn), dd) || 1; return [nn / g, dd / g]; }; const add = (a, b) => rat(a[0] * b[1] + b[0] * a[1], a[1] * b[1]); const sub = (a, b) => rat(a[0] * b[1] - b[0] * a[1], a[1] * b[1]); const mul = (a, b) => rat(a[0] * b[0], a[1] * b[1]); const divR = (a, b) => rat(a[0] * b[1], a[1] * b[0]); const powR = (a, n) => rat(ipow(a[0], n), ipow(a[1], n)); const cmpR = (a, b) => { const d = a[0] * b[1] - b[0] * a[1]; return d > 0 ? 1 : d < 0 ? -1 : 0; }; // бөлімі тек 2 мен 5-ке жіктелсе, сан ондық бөлшекпен жазылады const isTerm = (d) => { let x = d; while (x % 2 === 0) x /= 2; while (x % 5 === 0) x /= 5; return x === 1; }; // ── KaTeX жазу ────────────────────────────────────────────────────────── // Ондық жазуды бүтін сандармен құрамыз: 0,1 + 0,2 сияқты float қатесі жоқ. const decOf = (r) => { let d = r[1], p2 = 0, p5 = 0; while (d % 2 === 0) { d /= 2; p2++; } while (d % 5 === 0) { d /= 5; p5++; } const k = p2 > p5 ? p2 : p5; const scale = ipow(10, k) / r[1]; let n = r[0] * scale; const sign = n < 0 ? "-" : ""; n = Math.abs(n); let s = String(n); while (s.length < k + 1) s = "0" + s; const whole = s.slice(0, s.length - k); let frac = k > 0 ? s.slice(s.length - k) : ""; while (frac.length > 0 && frac[frac.length - 1] === "0") frac = frac.slice(0, -1); return sign + (frac.length > 0 ? whole + "{,}" + frac : whole); }; const fracOf = (r) => (r[1] === 1 ? String(r[0]) : (r[0] < 0 ? "-" : "") + "\\frac{" + Math.abs(r[0]) + "}{" + r[1] + "}"); // аралас сан: 225/169 → 1\frac{56}{169} (оқулықтың жазуы) const mixOf = (r) => { const sign = r[0] < 0 ? "-" : ""; const n = Math.abs(r[0]); if (r[1] === 1) return sign + String(n); const w = Math.floor(n / r[1]); const rem = n - w * r[1]; if (w === 0) return sign + "\\frac{" + rem + "}{" + r[1] + "}"; if (rem === 0) return sign + String(w); return sign + w + "\\frac{" + rem + "}{" + r[1] + "}"; }; const showR = (r, style) => (style === "decimal" ? decOf(r) : fracOf(r)); // теріс сан немесе бөлшек дәрежеге шыққанда жақшаға алынады const wrap = (tex, need) => (need ? "\\left(" + tex + "\\right)" : tex); // ── Есеп жинағыштар ───────────────────────────────────────────────────── const build = (variant, kz, ru, r, style, skz, sru) => { const a = exact(r[0], r[1]); const keys = keysForAnswer(toPlain(a, style)); // балама жазуды да теруге болсын: 15/16 ↔ 0,9375 if (style === "fraction" && r[1] !== 1 && isTerm(r[1]) && keys.indexOf("comma") === -1) keys.push("comma"); if (style === "decimal" && keys.indexOf("frac") === -1) keys.push("frac"); return { prompt: { kz, ru }, answer: a, answerStyle: style, keys, solution: { kz: skz, ru: sru }, variant, }; }; const buildParts = (variant, kz, ru, parts, skz, sru) => { const p = { prompt: { kz, ru } }; const ans = partsAnswer(parts); p.answer = ans.answer; p.answerStyle = ans.answerStyle; p.parts = ans.parts; p.entry = ans.entry; p.keys = ans.keys; p.solution = { kz: skz, ru: sru }; p.variant = variant; return p; }; // салыстыру: жауап — сан емес, ТАҢБА; `compare` кірпіші енгізу құралы const buildSign = (variant, kz, ru, leftTex, rightTex, sign, skz, sru) => { const p = { prompt: { kz, ru } }; const ans = signAnswer(sign); p.answer = ans.answer; p.answerStyle = ans.answerStyle; p.answerText = ans.answerText; p.entry = ans.entry; p.keys = ans.keys; p.solution = { kz: skz, ru: sru }; p.variant = variant; p.visual = { type: "compare", left: "$" + leftTex + "$", right: "$" + rightTex + "$" }; return p; }; const signOf = (a, b) => { const c = cmpR(a, b); return c > 0 ? ">" : c < 0 ? "<" : "="; }; const lvl = pick(rng, config.level); const kind = pick(rng, config.kinds); // ── 1. Бүтін санның дәрежесі (A 1.4 1),3); B 1.2) ──────────────────────── if (kind === "int-power") { const maxBase = lvl === "easy" ? 9 : lvl === "mid" ? 12 : 15; const maxExp = lvl === "easy" ? 3 : lvl === "mid" ? 4 : 6; const pool = []; for (let b = 2; b <= maxBase; b++) { for (let n = 2; n <= maxExp; n++) if (ipow(b, n) <= 250000) pool.push([b, n]); } const bn = pick(rng, pool); const b = bn[0], n = bn[1]; // теріс негіз 2-деңгейден бастап: жұп/тақ дәреже ережесі осында тексеріледі const isNeg = lvl !== "easy" && rng() < 0.5; const value = isNeg ? ipow(-b, n) : ipow(b, n); const baseTex = isNeg ? "\\left(-" + b + "\\right)" : String(b); const facs = []; for (let i = 0; i < n; i++) facs.push(baseTex); const rule = !isNeg ? { kz: "", ru: "" } : n % 2 === 0 ? { kz: "Теріс санның жұп дәрежесі — оң сан. ", ru: "Чётная степень отрицательного числа положительна. " } : { kz: "Теріс санның тақ дәрежесі — теріс сан. ", ru: "Нечётная степень отрицательного числа отрицательна. " }; const chain = "$" + baseTex + "^{" + n + "} = " + facs.join(" \\cdot ") + " = " + value + "$"; return build( isNeg ? "int-power-neg" : "int-power-pos", "Есепте: $" + baseTex + "^{" + n + "}$", "Вычислите: $" + baseTex + "^{" + n + "}$", [value, 1], "fraction", rule.kz + chain, rule.ru + chain, ); } // ── 2. Ондық бөлшектің дәрежесі (A 1.4 2),4); B 1.3) ───────────────────── if (kind === "dec-power") { // негіз = m / 10^d. Нәтиженің үтірден кейінгі саны d·n ≤ 7 — пернетақтаға сыяды. const dMax = lvl === "hard" ? 2 : 1; const mMax = lvl === "easy" ? 9 : 25; const nMax = lvl === "easy" ? 3 : lvl === "mid" ? 4 : 5; const pool = []; for (let d = 1; d <= dMax; d++) { for (let m = 1; m <= (d === 1 ? mMax : 12); m++) { if (m % 10 === 0) continue; // 1,0 сияқты негіз болмасын for (let n = 2; n <= nMax; n++) { if (d * n > 7) continue; if (ipow(m, n) > 50000000) continue; pool.push([m, d, n]); } } } const md = pick(rng, pool); const m = md[0], d = md[1], n = md[2]; const isNeg = lvl !== "easy" && rng() < 0.5; const base = rat(isNeg ? -m : m, ipow(10, d)); const value = powR(base, n); const baseTex = wrap(decOf(base), isNeg); const facs = []; for (let i = 0; i < n; i++) facs.push(baseTex); const chain = "$" + baseTex + "^{" + n + "} = " + facs.join(" \\cdot ") + " = " + decOf(value) + "$"; return build( isNeg ? "dec-power-neg" : "dec-power-pos", "Есепте: $" + baseTex + "^{" + n + "}$", "Вычислите: $" + baseTex + "^{" + n + "}$", value, "decimal", chain, chain, ); } // ── 3. Жай және аралас бөлшектің дәрежесі (A 1.5; B 1.3) ───────────────── if (kind === "frac-power") { const forms = lvl === "easy" ? ["proper"] : lvl === "mid" ? ["proper", "proper", "mixed"] : ["proper", "mixed", "mixed"]; const form = pick(rng, forms); const q = randInt(rng, 2, lvl === "easy" ? 6 : 9); let p = randInt(rng, 1, q - 1); while (gcd(p, q) !== 1) p = randInt(rng, 1, q - 1); const whole = form === "mixed" ? randInt(rng, 1, 2) : 0; const num = whole * q + p; // алым да, бөлім де 9 таңбадан аспауы керек (пернетақта шегі) let n = lvl === "easy" ? 2 : lvl === "mid" ? randInt(rng, 2, 4) : randInt(rng, 3, 5); while (n > 2 && (ipow(num, n) > 50000000 || ipow(q, n) > 50000000)) n--; const isNeg = lvl !== "easy" && rng() < 0.5; const value = rat(ipow(isNeg ? -num : num, n), ipow(q, n)); const improper = "\\frac{" + num + "}{" + q + "}"; const shown = form === "mixed" ? whole + "\\frac{" + p + "}{" + q + "}" : improper; const baseTex = "\\left(" + (isNeg ? "-" : "") + shown + "\\right)"; const impTex = "\\left(" + (isNeg ? "-" : "") + improper + "\\right)"; const steps = []; if (form === "mixed") steps.push(impTex + "^{" + n + "}"); steps.push((isNeg && n % 2 === 1 ? "-" : "") + "\\frac{" + num + "^{" + n + "}}{" + q + "^{" + n + "}}"); steps.push(fracOf(value)); const chain = "$" + baseTex + "^{" + n + "} = " + steps.join(" = ") + "$"; return build( "frac-power-" + form + (isNeg ? "-neg" : ""), "Есепте: $" + baseTex + "^{" + n + "}$", "Вычислите: $" + baseTex + "^{" + n + "}$", value, "fraction", chain, chain, ); } // ── 4. x², −x², (−x)² үшеуі бірге (B 1.7) ──────────────────────────────── // Оқулықтың негізгі шатастыратын жері: жақша қайда тұрғанына қарай мән // өзгереді. Үш ұяшық бірден сұралады — сонда айырманы көрмей кетуге болмайды. if (kind === "sign-forms") { const deg = lvl === "easy" ? 2 : pick(rng, [2, 3]); let x, style; if (lvl === "hard" && rng() < 0.5) { x = rat(pick(rng, [2, 3, 4, 5, 6, 15, 25]) * (rng() < 0.7 ? -1 : 1), 10); style = "decimal"; } else { x = [randInt(rng, 2, lvl === "easy" ? 7 : 12) * (rng() < 0.7 ? -1 : 1), 1]; style = "fraction"; } const xTex = showR(x, style); const pw = powR(x, deg); const parts = [ { label: "x" + (deg === 2 ? "²" : "³"), answer: exact(pw[0], pw[1]), style }, { label: "-x" + (deg === 2 ? "²" : "³"), answer: exact(-pw[0], pw[1]), style }, { label: "(-x)" + (deg === 2 ? "²" : "³"), answer: exact(powR([-x[0], x[1]], deg)[0], powR([-x[0], x[1]], deg)[1]), style }, ]; const list = "$x^{" + deg + "}$; $-x^{" + deg + "}$; $\\left(-x\\right)^{" + deg + "}$"; const v1 = showR(pw, style); const v2 = showR([-pw[0], pw[1]], style); const v3 = showR(powR([-x[0], x[1]], deg), style); return buildParts( "sign-forms-" + deg, "$x = " + xTex + "$ болғанда өрнектердің мәндерін тап: " + list + ".", "Найдите значения выражений при $x = " + xTex + "$: " + list + ".", parts, "Дәрежеге шығару алдымен орындалады: $-x^{" + deg + "} = -\\left(x^{" + deg + "}\\right)$. Жауабы: $" + v1 + "$; $" + v2 + "$; $" + v3 + "$.", "Возведение в степень выполняется первым: $-x^{" + deg + "} = -\\left(x^{" + deg + "}\\right)$. Ответ: $" + v1 + "$; $" + v2 + "$; $" + v3 + "$.", ); } // ── 5. Көбейтіндіні дәреже түрінде жазу (A 1.1, 1.2; B 1.1, 1.11) ──────── if (kind === "write-power") { const simple = [ { tex: "9", lab: "9" }, { tex: "7", lab: "7" }, { tex: "a", lab: "a" }, { tex: "b", lab: "b" }, { tex: "x", lab: "x" }, { tex: "m", lab: "m" }, ]; const rich = [ { tex: "\\left(-1{,}2\\right)", lab: "-1,2" }, { tex: "\\frac{2}{7}", lab: "2/7" }, { tex: "\\left(t+k\\right)", lab: "t+k" }, { tex: "\\frac{x}{y}", lab: "x/y" }, { tex: "\\left(ax\\right)", lab: "ax" }, { tex: "\\left(2-b\\right)", lab: "2-b" }, ]; const two = lvl === "easy" ? rng() < 0.35 : true; if (!two) { const b = pick(rng, simple); const n = randInt(rng, 4, 9); const facs = []; for (let i = 0; i < n; i++) facs.push(b.tex); const prod = facs.join(" \\cdot "); return build( "write-power-one", "$" + prod + "$ көбейтіндісін дәреже түрінде жаз. Дәреженің көрсеткіші нешеге тең?", "Запишите произведение $" + prod + "$ в виде степени. Чему равен показатель степени?", [n, 1], "fraction", "Бірдей көбейткіш $" + n + "$ рет қайталанады: $" + prod + " = " + b.tex + "^{" + n + "}$.", "Одинаковый множитель повторяется $" + n + "$ раз: $" + prod + " = " + b.tex + "^{" + n + "}$.", ); } const bank = shuffle(rng, lvl === "easy" ? simple.slice() : simple.concat(rich)); const cnt = lvl === "hard" && rng() < 0.4 ? 3 : 2; // Негіздер бір-бірінің ішінде кездеспеуі керек: $a \cdot a \cdot (ax) \cdot (ax)$ // деген өрнекте «$a$ нешеу?» деген сұрақтың екі жауабы болып қалады. const sig = (lab) => lab.replace(/[^0-9a-z]/gi, "").split(""); const bases = []; const taken = []; for (let i = 0; i < bank.length && bases.length < cnt; i++) { const chars = sig(bank[i].lab); let clash = false; for (let j = 0; j < chars.length; j++) if (taken.indexOf(chars[j]) !== -1) clash = true; if (clash) continue; bases.push(bank[i]); for (let j = 0; j < chars.length; j++) taken.push(chars[j]); } while (bases.length < cnt) bases.push(bank[bases.length]); const reps = []; for (let i = 0; i < bases.length; i++) reps.push(randInt(rng, 2, 5)); // Көбейтінді экранға сыюы керек: ұзын негіз (\left(-1{,}2\right)) көп // қайталанса, шарт 300 таңбадан асып кетеді — қайталауды азайтамыз. const width = () => { let w = 0; for (let i = 0; i < bases.length; i++) w += reps[i] * (bases[i].tex.length + 8); return w; }; while (width() > 165) { let big = 0; for (let i = 1; i < bases.length; i++) if (reps[i] * bases[i].tex.length > reps[big] * bases[big].tex.length) big = i; if (reps[big] <= 2) break; reps[big]--; } const facs = []; const parts = []; const sol = []; for (let i = 0; i < bases.length; i++) { const n = reps[i]; for (let j = 0; j < n; j++) facs.push(bases[i].tex); parts.push({ label: bases[i].lab, answer: exact(n) }); sol.push(bases[i].tex + "^{" + n + "}"); } const prod = facs.join(" \\cdot "); return buildParts( "write-power-many", "Өрнекті дәрежелер көбейтіндісі түрінде жаз: $" + prod + "$. Әр негіздің көрсеткішін жаз.", "Запишите выражение в виде произведения степеней: $" + prod + "$. Укажите показатель каждого основания.", parts, "Әр көбейткішті бөлек санаймыз: $" + prod + " = " + sol.join(" \\cdot ") + "$.", "Считаем каждый множитель отдельно: $" + prod + " = " + sol.join(" \\cdot ") + "$.", ); } // ── 6–7. Квадрат / куб түрінде жазу (B 1.6; A 1-мысал) ─────────────────── if (kind === "as-square" || kind === "as-cube") { const cube = kind === "as-cube"; const forms = lvl === "easy" ? ["int", "dec"] : lvl === "mid" ? ["int", "dec", "frac"] : ["dec", "frac", "mixed"]; const form = pick(rng, forms); let a; if (form === "int") { a = [randInt(rng, 2, cube ? 9 : 30), 1]; } else if (form === "dec") { const m = pick(rng, [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 15]); const d = cube || m > 9 ? 1 : pick(rng, [1, 1, 2]); a = rat(m, ipow(10, d)); } else if (form === "frac") { const q = randInt(rng, 3, cube ? 7 : 15); let p = randInt(rng, 2, q - 1); while (gcd(p, q) !== 1) p = randInt(rng, 2, q - 1); a = [p, q]; } else { const q = randInt(rng, 3, cube ? 5 : 13); let p = randInt(rng, 1, q - 1); while (gcd(p, q) !== 1) p = randInt(rng, 1, q - 1); a = [randInt(rng, 1, 2) * q + p, q]; } if (cube && rng() < 0.5) a = [-a[0], a[1]]; const deg = cube ? 3 : 2; const value = powR(a, deg); const style = form === "dec" ? "decimal" : "fraction"; const aTex = showR(a, style); const valTex = style === "decimal" ? decOf(value) : mixOf(value); const kz = cube ? "Санның кубы түрінде жаз: $a^{3} = " + valTex + "$. $a$ нешеге тең?" : "Оң санның квадраты түрінде жаз: $a^{2} = " + valTex + "$. $a$ нешеге тең?"; const ru = cube ? "Запишите в виде куба числа: $a^{3} = " + valTex + "$. Чему равно $a$?" : "Запишите в виде квадрата положительного числа: $a^{2} = " + valTex + "$. Чему равно $a$?"; const chain = "$" + wrap(aTex, a[0] < 0 || a[1] !== 1) + "^{" + deg + "} = " + showR(value, style) + "$"; return build( (cube ? "as-cube-" : "as-square-") + form, kz, ru, a, style, chain + ", сондықтан $a = " + aTex + "$.", chain + ", поэтому $a = " + aTex + "$.", ); } // ── 8. Берілген негіздің дәрежесі (B 1.12) ─────────────────────────────── if (kind === "as-power-of") { const b = randInt(rng, 2, 10); const nMax = b <= 3 ? 8 : b <= 5 ? 6 : 5; const n = lvl === "easy" ? randInt(rng, 2, 4) : randInt(rng, 3, nMax); const value = ipow(b, n); const facs = []; for (let i = 0; i < n; i++) facs.push(String(b)); // 4-тен бастап көрсеткіш квадрат/куб есебін қайталамайды — негізді де сұраймыз const askBase = lvl !== "easy" && n >= 4 && rng() < 0.4; if (askBase) { return build( "as-power-of-base", "$a > 0$ және $a^{" + n + "} = " + value + "$. $a$ нешеге тең?", "$a > 0$ и $a^{" + n + "} = " + value + "$. Чему равно $a$?", [b, 1], "fraction", "$" + facs.join(" \\cdot ") + " = " + value + "$, сондықтан $a = " + b + "$.", "$" + facs.join(" \\cdot ") + " = " + value + "$, поэтому $a = " + b + "$.", ); } return build( "as-power-of-exp", "Санды негізі $" + b + "$ болатын дәреже түрінде жаз: $" + value + " = " + b + "^{n}$. $n$ нешеге тең?", "Запишите число в виде степени с основанием $" + b + "$: $" + value + " = " + b + "^{n}$. Чему равно $n$?", [n, 1], "fraction", "$" + facs.join(" \\cdot ") + " = " + value + "$, яғни $" + value + " = " + b + "^{" + n + "}$.", "$" + facs.join(" \\cdot ") + " = " + value + "$, то есть $" + value + " = " + b + "^{" + n + "}$.", ); } // ── 9. Екі мүшелі өрнек (A 1.7) ────────────────────────────────────────── if (kind === "ops-two") { const maxBase = lvl === "easy" ? 9 : 15; const maxExp = lvl === "easy" ? 3 : lvl === "mid" ? 4 : 6; const pool = []; for (let b = 2; b <= maxBase; b++) { for (let n = 2; n <= maxExp; n++) if (ipow(b, n) <= 5000) pool.push([b, n]); } const one = pick(rng, pool), two = pick(rng, pool); const p1 = ipow(one[0], one[1]), p2 = ipow(two[0], two[1]); const t1 = one[0] + "^{" + one[1] + "}", t2 = two[0] + "^{" + two[1] + "}"; const op = pick(rng, ["+", "-"]); const form = pick(rng, ["pm", "mp", "pp"]); let left, mid, value; if (form === "pm") { const m = randInt(rng, 2, 1000); left = t1 + " " + op + " " + m; mid = p1 + " " + op + " " + m; value = op === "+" ? p1 + m : p1 - m; } else if (form === "mp") { const m = randInt(rng, 2, 1000); left = m + " " + op + " " + t1; mid = m + " " + op + " " + p1; value = op === "+" ? m + p1 : m - p1; } else { left = t1 + " " + op + " " + t2; mid = p1 + " " + op + " " + p2; value = op === "+" ? p1 + p2 : p1 - p2; } const chain = "$" + left + " = " + mid + " = " + value + "$"; return build( "ops-two-" + form, "Амалдарды орында: $" + left + "$", "Выполните действия: $" + left + "$", [value, 1], "fraction", chain, chain, ); } // ── 10. Жақша мен таңба (A 1.8; B 1.9 1)) ──────────────────────────────── // Оқулықтың ең қатесі көп жері: $-5^2$ пен $(-5)^2$, $(0,7-1,3)^2$ пен // $0,7-1,3^2$. Дәрежеге шығару — үшінші деңгейдің амалы, ол бірінші тұрады. if (kind === "ops-trap") { // үтірден кейінгі цифры нөл болмасын: 2,0 деген ондық бөлшек емес const dec1 = () => { let m = randInt(rng, 1, lvl === "easy" ? 15 : 20); while (m % 10 === 0) m = randInt(rng, 1, lvl === "easy" ? 15 : 20); return rat(m, 10); }; const form = pick(rng, lvl === "easy" ? ["t1", "t5"] : ["t1", "t2", "t3", "t4", "t5"]); if (form === "t1") { // (a − b)² const a = dec1(); let b = dec1(); let t1try = 0; // айырмасы бүтін сан болса ((1,4 − 0,4)²) есеп мәнін жоғалтады while ((cmpR(a, b) === 0 || sub(a, b)[1] === 1) && t1try < 20) { b = dec1(); t1try++; } const diff = sub(a, b); const value = powR(diff, 2); const left = "\\left(" + decOf(a) + " - " + decOf(b) + "\\right)^{2}"; const chain = "$" + left + " = " + wrap(decOf(diff), diff[0] < 0) + "^{2} = " + decOf(value) + "$"; return build("ops-trap-brackets", "Амалдарды орында: $" + left + "$", "Выполните действия: $" + left + "$", value, "decimal", "Алдымен жақшаның ішіндегі айырма: " + chain, "Сначала разность в скобках: " + chain); } if (form === "t2") { // a − b² const a = dec1(), b = dec1(); const sq = powR(b, 2); const value = sub(a, sq); const left = decOf(a) + " - " + decOf(b) + "^{2}"; const chain = "$" + left + " = " + decOf(a) + " - " + decOf(sq) + " = " + decOf(value) + "$"; return build("ops-trap-nobrackets", "Амалдарды орында: $" + left + "$", "Выполните действия: $" + left + "$", value, "decimal", "Жақша жоқ, сондықтан алдымен $" + decOf(b) + "^{2}$ есептеледі: " + chain, "Скобок нет, поэтому сначала вычисляется $" + decOf(b) + "^{2}$: " + chain); } if (form === "t3") { // −a² + (−b)^n const a = randInt(rng, 2, 9), b = randInt(rng, 2, 6), n = randInt(rng, 2, 4); const op = pick(rng, ["+", "-"]); const v1 = -ipow(a, 2), v2 = ipow(-b, n); const value = op === "+" ? v1 + v2 : v1 - v2; const left = "-" + a + "^{2} " + op + " \\left(-" + b + "\\right)^{" + n + "}"; const chain = "$" + left + " = " + v1 + " " + op + " \\left(" + v2 + "\\right) = " + value + "$"; return build("ops-trap-minus", "Амалдарды орында: $" + left + "$", "Выполните действия: $" + left + "$", [value, 1], "fraction", "$-" + a + "^{2}$ дегеніміз $-\\left(" + a + "^{2}\\right)$. " + chain, "$-" + a + "^{2}$ — это $-\\left(" + a + "^{2}\\right)$. " + chain); } if (form === "t4") { // −m + a², a — ондық бөлшек const m = randInt(rng, 2, 20); const a = rat(randInt(rng, 1, 9), pick(rng, [10, 10, 100])); const sq = powR(a, 2); const value = add([-m, 1], sq); const left = "-" + m + " + " + decOf(a) + "^{2}"; const chain = "$" + left + " = -" + m + " + " + decOf(sq) + " = " + decOf(value) + "$"; return build("ops-trap-small", "Амалдарды орында: $" + left + "$", "Выполните действия: $" + left + "$", value, "decimal", chain, chain); } // t5: (−a)² + b³ const a = randInt(rng, 2, 9), b = randInt(rng, 2, 6), n = randInt(rng, 2, 3); const op = pick(rng, ["+", "-"]); const v1 = ipow(-a, 2), v2 = ipow(b, n); const value = op === "+" ? v1 + v2 : v1 - v2; const left = "\\left(-" + a + "\\right)^{2} " + op + " " + b + "^{" + n + "}"; const chain = "$" + left + " = " + v1 + " " + op + " " + v2 + " = " + value + "$"; return build("ops-trap-pair", "Амалдарды орында: $" + left + "$", "Выполните действия: $" + left + "$", [value, 1], "fraction", "Жақша ішіндегі теріс сан жұп дәрежеде оң болады. " + chain, "Отрицательное число в скобках в чётной степени даёт положительное. " + chain); } // ── 11. Бөлшекті өрнек (A 1.9) ─────────────────────────────────────────── if (kind === "ops-frac") { const useDecimal = lvl !== "easy" && rng() < 0.4; if (!useDecimal) { const q = randInt(rng, 2, lvl === "easy" ? 4 : 5); let n = lvl === "easy" ? 2 : randInt(rng, 2, 5); while (ipow(q, n) > 625) n--; // 29/32, 22/27 — оқулықтағыдай оқылатын бөлім let p = randInt(rng, 1, q - 1); while (gcd(p, q) !== 1) p = randInt(rng, 1, q - 1); const isNeg = lvl !== "easy" && rng() < 0.5; const D = ipow(q, n); const pn = ipow(isNeg ? -p : p, n); const first = rat(pn, D); const op = pick(rng, ["+", "+", "-"]); // Жауап АЛДЫМЕН таңдалады: алымы q-ға еселі болса, бөлшек міндетті түрде // қысқарады — 1/32 + 29/32 = 15/16 сияқты «таза» түр шығады. let N = q * randInt(rng, 1, Math.floor((D - 1) / q)); let r = op === "+" ? N - pn : pn - N; let tries = 0; while ((r < 1 || r > D - 1) && tries < 24) { N = q * randInt(rng, 1, Math.floor((D - 1) / q)); r = op === "+" ? N - pn : pn - N; tries++; } if (r < 1 || r > D - 1) r = op === "+" ? D - 1 - (pn > 0 ? pn : 0) : Math.max(1, pn - 1); const second = [r, D]; const value = op === "+" ? add(first, second) : sub(first, second); const baseTex = "\\left(" + (isNeg ? "-" : "") + "\\frac{" + p + "}{" + q + "}\\right)"; const left = baseTex + "^{" + n + "} " + op + " \\frac{" + r + "}{" + D + "}"; const chain = "$" + left + " = " + fracOf(first) + " " + op + " \\frac{" + r + "}{" + D + "} = " + fracOf(value) + "$"; return build("ops-frac-common", "Амалдарды орында: $" + left + "$", "Выполните действия: $" + left + "$", value, "fraction", chain, chain); } // ондық түрі: (1,2)² + 2,06 = 3,5 — жауабы «дөңгелек» болатындай құрылады let m = randInt(rng, 1, 20); while (m % 10 === 0) m = randInt(rng, 1, 20); const nMax = m <= 5 ? 4 : 3; const n = randInt(rng, 2, nMax); const base = rat(m, 10); const P = powR(base, n); // n = 2 болса, дәреженің 2 таңбасы бар — жауапты дөңгелек етіп аламыз // ((1,2)² + 2,06 = 3,5). Одан жоғары дәрежеде екінші қосылғыш бүтін болады // ((0,4)⁴ − 1), әйтпесе 16,744 сияқты жасанды сан шығады. const T = n === 2 ? rat(randInt(rng, -20, 20), pick(rng, [1, 2, 10])) : add(P, [randInt(rng, 1, 20) * (rng() < 0.5 ? -1 : 1), 1]); const b = sub(T, P); if (b[0] === 0) { const chain0 = "$\\left(" + decOf(base) + "\\right)^{" + n + "} = " + decOf(P) + "$"; return build("ops-frac-decimal", "Есепте: $\\left(" + decOf(base) + "\\right)^{" + n + "}$", "Вычислите: $\\left(" + decOf(base) + "\\right)^{" + n + "}$", P, "decimal", chain0, chain0); } const op = b[0] > 0 ? "+" : "-"; const bTex = decOf([Math.abs(b[0]), b[1]]); const left = "\\left(" + decOf(base) + "\\right)^{" + n + "} " + op + " " + bTex; const chain = "$" + left + " = " + decOf(P) + " " + op + " " + bTex + " = " + decOf(T) + "$"; return build("ops-frac-decimal", "Амалдарды орында: $" + left + "$", "Выполните действия: $" + left + "$", T, "decimal", chain, chain); } // ── 12. Көбейту және бөлу (A 1.11; B 1.9 3),4)) ────────────────────────── if (kind === "ops-mixed") { const form = pick(rng, lvl === "easy" ? ["m1", "m5"] : ["m1", "m3", "m4", "m5", "m6"]); if (form === "m1") { // a^n · b^k ± m, жауабы дөңгелек сан const a = randInt(rng, 2, 9), n = randInt(rng, 2, 3); const b = randInt(rng, 2, 5), k = randInt(rng, 2, 3); const prod = ipow(a, n) * ipow(b, k); const round = Math.round(prod / 100) * 100 + pick(rng, [0, 100, 200, 1000]); const m = round - prod; if (m === 0) { const chain0 = "$" + a + "^{" + n + "} \\cdot " + b + "^{" + k + "} = " + ipow(a, n) + " \\cdot " + ipow(b, k) + " = " + prod + "$"; return build("ops-mixed-prod", "Амалдарды орында: $" + a + "^{" + n + "} \\cdot " + b + "^{" + k + "}$", "Выполните действия: $" + a + "^{" + n + "} \\cdot " + b + "^{" + k + "}$", [prod, 1], "fraction", chain0, chain0); } const op = m > 0 ? "+" : "-"; const left = a + "^{" + n + "} \\cdot " + b + "^{" + k + "} " + op + " " + Math.abs(m); const chain = "$" + left + " = " + ipow(a, n) + " \\cdot " + ipow(b, k) + " " + op + " " + Math.abs(m) + " = " + prod + " " + op + " " + Math.abs(m) + " = " + round + "$"; return build("ops-mixed-prod", "Амалдарды орында: $" + left + "$", "Выполните действия: $" + left + "$", [round, 1], "fraction", chain, chain); } if (form === "m3") { // a^n − b^k : m const a = randInt(rng, 3, 8), n = randInt(rng, 2, 3); const b = randInt(rng, 2, 6), k = randInt(rng, 2, 4); const m = pick(rng, [2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50]); const quot = rat(ipow(b, k), m); const value = sub([ipow(a, n), 1], quot); const left = a + "^{" + n + "} - " + b + "^{" + k + "} : " + m; const chain = "$" + left + " = " + ipow(a, n) + " - " + ipow(b, k) + " : " + m + " = " + ipow(a, n) + " - " + decOf(quot) + " = " + decOf(value) + "$"; return build("ops-mixed-div", "Амалдарды орында: $" + left + "$", "Выполните действия: $" + left + "$", value, value[1] === 1 ? "fraction" : "decimal", "Бөлу қосу мен азайтудан бұрын орындалады. " + chain, "Деление выполняется раньше сложения и вычитания. " + chain); } if (form === "m4") { // a^n : 10^j − d const a = randInt(rng, 2, 9), n = randInt(rng, 3, 4); const j = randInt(rng, 2, 3); const quot = rat(ipow(a, n), ipow(10, j)); const d = rat(randInt(rng, 1, 30), 10); const value = sub(quot, d); const left = a + "^{" + n + "} : " + ipow(10, j) + " - " + decOf(d); const chain = "$" + left + " = " + ipow(a, n) + " : " + ipow(10, j) + " - " + decOf(d) + " = " + decOf(quot) + " - " + decOf(d) + " = " + decOf(value) + "$"; return build("ops-mixed-ten", "Амалдарды орында: $" + left + "$", "Выполните действия: $" + left + "$", value, "decimal", chain, chain); } if (form === "m5") { // c · a^n − d · b^k, c пен d — ондық бөлшек const c = rat(randInt(rng, 1, 9), 10), d = rat(randInt(rng, 1, 9), 10); const a = randInt(rng, 2, 6), n = randInt(rng, 2, 3); const b = randInt(rng, 2, 6), k = randInt(rng, 2, 3); const v1 = mul(c, [ipow(a, n), 1]), v2 = mul(d, [ipow(b, k), 1]); const op = pick(rng, ["+", "-"]); const value = op === "+" ? add(v1, v2) : sub(v1, v2); const left = decOf(c) + " \\cdot " + a + "^{" + n + "} " + op + " " + decOf(d) + " \\cdot " + b + "^{" + k + "}"; const chain = "$" + left + " = " + decOf(c) + " \\cdot " + ipow(a, n) + " " + op + " " + decOf(d) + " \\cdot " + ipow(b, k) + " = " + decOf(v1) + " " + op + " " + decOf(v2) + " = " + decOf(value) + "$"; return build("ops-mixed-two", "Амалдарды орында: $" + left + "$", "Выполните действия: $" + left + "$", value, "decimal", chain, chain); } // m6: c · a^n + d · b^k, негіздері ондық бөлшек const c = randInt(rng, 2, 12), d = randInt(rng, 2, 12); const a = rat(randInt(rng, 1, 9), 10), n = randInt(rng, 2, 3); const b = rat(randInt(rng, 1, 9), 10), k = randInt(rng, 2, 3); const pa = powR(a, n), pb = powR(b, k); const v1 = mul([c, 1], pa), v2 = mul([d, 1], pb); const op = pick(rng, ["+", "-"]); const value = op === "+" ? add(v1, v2) : sub(v1, v2); const left = c + " \\cdot " + decOf(a) + "^{" + n + "} " + op + " " + d + " \\cdot " + decOf(b) + "^{" + k + "}"; const chain = "$" + left + " = " + c + " \\cdot " + decOf(pa) + " " + op + " " + d + " \\cdot " + decOf(pb) + " = " + decOf(v1) + " " + op + " " + decOf(v2) + " = " + decOf(value) + "$"; return build("ops-mixed-dec", "Амалдарды орында: $" + left + "$", "Выполните действия: $" + left + "$", value, "decimal", chain, chain); } // ── 13. Ұзын өрнек (A 1.13) ────────────────────────────────────────────── if (kind === "ops-long") { const form = pick(rng, ["L1", "L2", "L3"]); if (form === "L1") { // a³ − b² : c + (p/q)^n · q^n const a = randInt(rng, 5, 12); const b = randInt(rng, 4, 20); const divs = []; for (let c = 2; c <= b * b; c++) if ((b * b) % c === 0) divs.push(c); const c = pick(rng, divs); const q = randInt(rng, 2, 4); let p = randInt(rng, 1, q - 1); while (gcd(p, q) !== 1) p = randInt(rng, 1, q - 1); const n = randInt(rng, 2, 3); const qn = ipow(q, n); const value = ipow(a, 3) - (b * b) / c + ipow(p, n); const left = a + "^{3} - " + b + "^{2} : " + c + " + \\left(\\frac{" + p + "}{" + q + "}\\right)^{" + n + "} \\cdot " + qn; const chain = "$" + left + " = " + ipow(a, 3) + " - " + (b * b) + " : " + c + " + \\frac{" + ipow(p, n) + "}{" + qn + "} \\cdot " + qn + " = " + ipow(a, 3) + " - " + (b * b) / c + " + " + ipow(p, n) + " = " + value + "$"; return build("ops-long-1", "Амалдарды орында: $" + left + "$", "Выполните действия: $" + left + "$", [value, 1], "fraction", chain, chain); } if (form === "L2") { // d · (1/q)^n + b² · (a^k − m) const q = randInt(rng, 2, 4), n = randInt(rng, 2, 3); const qn = ipow(q, n); const t = rat(randInt(rng, 1, 99), 100); const d = mul(t, [qn, 1]); const b = randInt(rng, 2, 9); const a = randInt(rng, 2, 5), k = randInt(rng, 2, 5); const ak = ipow(a, k); const m = randInt(rng, 1, ak - 1); const big = b * b * (ak - m); const value = add(t, [big, 1]); const left = decOf(d) + " \\cdot \\left(\\frac{1}{" + q + "}\\right)^{" + n + "} + " + b + "^{2} \\cdot \\left(" + a + "^{" + k + "} - " + m + "\\right)"; const chain = "$" + left + " = " + decOf(d) + " \\cdot \\frac{1}{" + qn + "} + " + (b * b) + " \\cdot \\left(" + ak + " - " + m + "\\right) = " + decOf(t) + " + " + (b * b) + " \\cdot " + (ak - m) + " = " + decOf(t) + " + " + big + " = " + decOf(value) + "$"; return build("ops-long-2", "Амалдарды орында: $" + left + "$", "Выполните действия: $" + left + "$", value, value[1] === 1 ? "fraction" : "decimal", chain, chain); } // L3: (a² − m)³ · p/q + d : b² const a = randInt(rng, 3, 9); const t = pick(rng, [2, 3, 4, -2, -3]); const m = a * a - t; const t3 = ipow(t, 3); const divs = []; for (let x = 2; x <= Math.abs(t3); x++) if (t3 % x === 0) divs.push(x); const q = pick(rng, divs); let p = randInt(rng, 1, 9); while (gcd(p, q) !== 1) p = randInt(rng, 1, 9); const b = randInt(rng, 2, 6); const j = randInt(rng, 1, 40); const d = mul([b * b, 1], rat(j, 10)); const first = mul([t3, 1], [p, q]); const second = rat(j, 10); const value = add(first, second); const left = "\\left(" + a + "^{2} - " + m + "\\right)^{3} \\cdot \\frac{" + p + "}{" + q + "} + " + decOf(d) + " : " + (b * b); const chain = "$" + left + " = \\left(" + t + "\\right)^{3} \\cdot \\frac{" + p + "}{" + q + "} + " + decOf(d) + " : " + (b * b) + " = " + fracOf(first) + " + " + decOf(second) + " = " + showR(value, value[1] === 1 || isTerm(value[1]) ? "decimal" : "fraction") + "$"; return build("ops-long-3", "Амалдарды орында: $" + left + "$", "Выполните действия: $" + left + "$", value, value[1] === 1 || isTerm(value[1]) ? "decimal" : "fraction", chain, chain); } // ── Ортақ көмекші: теріс сан немесе бөлшек өрнекке қойылғанда жақшаға алынады const brk = (s) => "\\left(" + s + "\\right)"; const numTex = (v) => (v < 0 ? brk(String(v)) : String(v)); const valTexOf = (r, style) => { const s = showR(r, style); return r[0] < 0 || r[1] !== 1 ? brk(s) : s; }; const coefTex = (c) => (c === 1 ? "" : c === -1 ? "-" : String(c)); // ── 14. Екі әріпті өрнек (B 1.14, B 1.8) ───────────────────────────────── if (kind === "subst-two") { const form = pick(rng, lvl === "easy" ? ["s1", "s2"] : ["s1", "s2", "s3", "s4", "s5"]); const sgn = () => (rng() < 0.6 ? -1 : 1); if (form === "s1") { // c₁a² ± c₂b³ const c1 = randInt(rng, 1, 5), c2 = randInt(rng, 1, 5); const op = pick(rng, ["+", "-"]); const av = randInt(rng, 2, lvl === "easy" ? 9 : lvl === "mid" ? 14 : 20) * sgn(); const bv = randInt(rng, 2, 5) * sgn(); const t1 = c1 * ipow(av, 2), t2 = c2 * ipow(bv, 3); const value = op === "+" ? t1 + t2 : t1 - t2; const expr = coefTex(c1) + "a^{2} " + op + " " + coefTex(c2) + "b^{3}"; const subbed = (c1 === 1 ? "" : c1 + " \\cdot ") + brk(String(av)) + "^{2} " + op + " " + (c2 === 1 ? "" : c2 + " \\cdot ") + brk(String(bv)) + "^{3}"; const chain = "$" + subbed + " = " + t1 + " " + op + " " + numTex(t2) + " = " + value + "$"; return build("subst-two-ab", "$a = " + av + "$, $b = " + bv + "$ болғанда $" + expr + "$ өрнегінің мәнін тап.", "Найдите значение выражения $" + expr + "$ при $a = " + av + "$, $b = " + bv + "$.", [value, 1], "fraction", chain, chain); } if (form === "s2") { // m² + 2mn + n² const mv = randInt(rng, 2, 12) * sgn(), nv = randInt(rng, 2, 12) * sgn(); const value = mv * mv + 2 * mv * nv + nv * nv; const expr = "m^{2} + 2mn + n^{2}"; const chain = "$" + brk(String(mv)) + "^{2} + 2 \\cdot " + brk(String(mv)) + " \\cdot " + brk(String(nv)) + " + " + brk(String(nv)) + "^{2} = " + mv * mv + " + " + numTex(2 * mv * nv) + " + " + nv * nv + " = " + value + "$"; return build("subst-two-mn", "$m = " + mv + "$, $n = " + nv + "$ болғанда $" + expr + "$ өрнегінің мәнін тап.", "Найдите значение выражения $" + expr + "$ при $m = " + mv + "$, $n = " + nv + "$.", [value, 1], "fraction", chain, chain); } if (form === "s3") { // c₁pq² − c₂p²q const c1 = randInt(rng, 1, 4), c2 = randInt(rng, 1, 4); const pv = randInt(rng, 2, 6) * sgn(), qv = randInt(rng, 2, 6) * sgn(); const t1 = c1 * pv * qv * qv, t2 = c2 * pv * pv * qv; const value = t1 - t2; const expr = coefTex(c1) + "pq^{2} - " + coefTex(c2) + "p^{2}q"; const chain = "$" + (c1 === 1 ? "" : c1 + " \\cdot ") + brk(String(pv)) + " \\cdot " + brk(String(qv)) + "^{2} - " + (c2 === 1 ? "" : c2 + " \\cdot ") + brk(String(pv)) + "^{2} \\cdot " + brk(String(qv)) + " = " + numTex(t1) + " - " + numTex(t2) + " = " + value + "$"; return build("subst-two-pq", "$p = " + pv + "$, $q = " + qv + "$ болғанда $" + expr + "$ өрнегінің мәнін тап.", "Найдите значение выражения $" + expr + "$ при $p = " + pv + "$, $q = " + qv + "$.", [value, 1], "fraction", chain, chain); } if (form === "s4") { // cx²y³ + d(x − y), x — бөлшек const c = randInt(rng, 1, 5), d = randInt(rng, 1, 5); const den = pick(rng, [2, 2, 4, 5]); const xv = rat(randInt(rng, 1, den * 2 - 1) * sgn(), den); const yv = [randInt(rng, 1, 4) * sgn(), 1]; const t1 = mul([c, 1], mul(powR(xv, 2), powR(yv, 3))); const t2 = mul([d, 1], sub(xv, yv)); const value = add(t1, t2); const style = isTerm(value[1]) ? "decimal" : "fraction"; const expr = coefTex(c) + "x^{2}y^{3} + " + d + brk("x - y"); const xTex = fracOf(xv), yTex = String(yv[0]); const chain = "$" + (c === 1 ? "" : c + " \\cdot ") + brk(xTex) + "^{2} \\cdot " + brk(yTex) + "^{3} + " + d + " \\cdot " + brk(xTex + " - " + brk(yTex)) + " = " + valTexOf(t1, "fraction") + " + " + valTexOf(t2, "fraction") + " = " + showR(value, style) + "$"; return build("subst-two-xy", "$x = " + xTex + "$, $y = " + yTex + "$ болғанда $" + expr + "$ өрнегінің мәнін тап.", "Найдите значение выражения $" + expr + "$ при $x = " + xTex + "$, $y = " + yTex + "$.", value, style, chain, chain); } // s5: xⁿ + yⁿ (B 1.8) — көрсеткіш те беріледі const nv = randInt(rng, 2, 5); const xv = randInt(rng, 2, 6) * sgn(), yv = randInt(rng, 2, 6) * sgn(); const t1 = ipow(xv, nv), t2 = ipow(yv, nv); const value = t1 + t2; const chain = "$" + brk(String(xv)) + "^{" + nv + "} + " + brk(String(yv)) + "^{" + nv + "} = " + numTex(t1) + " + " + numTex(t2) + " = " + value + "$"; return build("subst-two-xn", "$x = " + xv + "$, $y = " + yv + "$, $n = " + nv + "$ болғанда $x^{n} + y^{n}$ өрнегінің мәнін тап.", "Найдите значение выражения $x^{n} + y^{n}$ при $x = " + xv + "$, $y = " + yv + "$, $n = " + nv + "$.", [value, 1], "fraction", chain, chain); } // ── 15. Бір әріпті көпмүше (B 1.17) ────────────────────────────────────── if (kind === "subst-poly") { const letter = pick(rng, ["a", "x", "b", "m"]); const av = lvl === "easy" ? pick(rng, [-2, -1, 0, 1, 2]) : pick(rng, [-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3]); const cnt = lvl === "hard" ? 4 : 3; const exps = shuffle(rng, [5, 4, 3, 2, 1]).slice(0, cnt).sort((p, q) => q - p); const parts = [], subs = [], vals = []; let value = 0; for (let i = 0; i < cnt; i++) { let c = randInt(rng, 1, 5) * (rng() < 0.5 ? -1 : 1); const e = exps[i]; const term = coefTex(Math.abs(c)) + letter + "^{" + e + "}"; parts.push((i === 0 ? (c < 0 ? "-" : "") : c < 0 ? " - " : " + ") + term); subs.push((i === 0 ? (c < 0 ? "-" : "") : c < 0 ? " - " : " + ") + (Math.abs(c) === 1 ? "" : Math.abs(c) + " \\cdot ") + brk(String(av)) + "^{" + e + "}"); const tv = c * ipow(av, e); vals.push((i === 0 ? "" : " + ") + numTex(tv)); value += tv; } const expr = parts.join(""); const chain = "$" + subs.join("") + " = " + vals.join("") + " = " + value + "$"; return build("subst-poly-" + cnt, "$" + letter + " = " + av + "$ болғанда $" + expr + "$ өрнегінің мәнін тап.", "Найдите значение выражения $" + expr + "$ при $" + letter + " = " + av + "$.", [value, 1], "fraction", chain, chain); } // ── 16. Бөлшек өрнектің мәні (B 1.18) ──────────────────────────────────── if (kind === "subst-frac") { const typeable = (r) => { const s = String(Math.abs(r[0])).length <= 9 && String(r[1]).length <= 9; return s; }; const form = pick(rng, ["f1", "f2"]); if (form === "f1") { // (c₁a⁴ − c₂b³) / (1 − a²) const aPool = [[1, 2], [-1, 2], [1, 3], [-1, 3], [2, 3], [-2, 3], [3, 2], [-3, 2]]; const bPool = [[1, 2], [-1, 2], [1, 3], [-1, 3], [2, 1], [-2, 1], [3, 1], [-3, 1]]; let av = pick(rng, aPool), bv = pick(rng, bPool); let c1 = randInt(rng, 1, 3), c2 = randInt(rng, 1, 3); let num = sub(mul([c1, 1], powR(av, 4)), mul([c2, 1], powR(bv, 3))); let den = sub([1, 1], powR(av, 2)); let value = divR(num, den); let guard = 0; while ((den[0] === 0 || !typeable(value)) && guard < 20) { av = pick(rng, aPool); bv = pick(rng, bPool); c1 = randInt(rng, 1, 3); c2 = randInt(rng, 1, 3); num = sub(mul([c1, 1], powR(av, 4)), mul([c2, 1], powR(bv, 3))); den = sub([1, 1], powR(av, 2)); value = divR(num, den); guard++; } if (den[0] === 0 || !typeable(value)) { // оқулықтың өз мысалы — кепілді қор av = [-1, 2]; bv = [-1, 3]; c1 = 2; c2 = 3; num = sub(mul([c1, 1], powR(av, 4)), mul([c2, 1], powR(bv, 3))); den = sub([1, 1], powR(av, 2)); value = divR(num, den); } const expr = "\\frac{" + coefTex(c1) + "a^{4} - " + coefTex(c2) + "b^{3}}{1 - a^{2}}"; const aTex = fracOf(av), bTex = fracOf(bv); const chain = "$\\frac{" + (c1 === 1 ? "" : c1 + " \\cdot ") + brk(aTex) + "^{4} - " + (c2 === 1 ? "" : c2 + " \\cdot ") + brk(bTex) + "^{3}}{1 - " + brk(aTex) + "^{2}} = \\frac{" + fracOf(num) + "}{" + fracOf(den) + "} = " + fracOf(value) + "$"; return build("subst-frac-ab", "$a = " + aTex + "$, $b = " + bTex + "$ болғанда $" + expr + "$ өрнегінің мәнін тап.", "Найдите значение выражения $" + expr + "$ при $a = " + aTex + "$, $b = " + bTex + "$.", value, "fraction", chain, chain); } // f2: (c₁m² − c₂m − c₃) / (m² + m + 1) const mPool = [[-3, 4], [3, 4], [-1, 2], [1, 2], [-2, 3], [2, 3], [-1, 3], [5, 4]]; const mv = pick(rng, mPool); const c1 = randInt(rng, 1, 3), c2 = randInt(rng, 1, 4), c3 = randInt(rng, 1, 3); const num = sub(sub(mul([c1, 1], powR(mv, 2)), mul([c2, 1], mv)), [c3, 1]); const den = add(add(powR(mv, 2), mv), [1, 1]); const value = divR(num, den); const expr = "\\frac{" + coefTex(c1) + "m^{2} - " + coefTex(c2) + "m - " + c3 + "}{m^{2} + m + 1}"; const mTex = fracOf(mv); const chain = "$\\frac{" + (c1 === 1 ? "" : c1 + " \\cdot ") + brk(mTex) + "^{2} - " + (c2 === 1 ? "" : c2 + " \\cdot ") + brk(mTex) + " - " + c3 + "}{" + brk(mTex) + "^{2} + " + brk(mTex) + " + 1} = \\frac{" + fracOf(num) + "}{" + fracOf(den) + "} = " + fracOf(value) + "$"; return build("subst-frac-m", "$m = " + mTex + "$ болғанда $" + expr + "$ өрнегінің мәнін тап.", "Найдите значение выражения $" + expr + "$ при $m = " + mTex + "$.", value, "fraction", chain, chain); } // ── 17. Ұқсас мүшелерді біріктіру (B 1.13) ─────────────────────────────── // Жауап екі ұяшық: коэффициент пен көрсеткіш — екеуі бірге ықшамдалған // өрнекті толық анықтайды, сондықтан «жауабы өрнек» мәселесі жоқ. if (kind === "simplify-coef") { const two = lvl !== "easy" && rng() < 0.4; if (!two) { const letter = pick(rng, ["a", "x", "b", "y"]); const n = randInt(rng, 2, lvl === "easy" ? 3 : 5); const cnt = lvl === "easy" ? 2 : randInt(rng, 2, 3); let k = 0; const terms = []; for (let i = 0; i < cnt; i++) { let c = randInt(rng, 1, 6) * (i > 0 && rng() < 0.5 ? -1 : 1); k += c; terms.push((i === 0 ? "" : c < 0 ? " - " : " + ") + coefTex(Math.abs(c)) + letter + "^{" + n + "}"); } if (k === 0) { k = 1; terms.push(" + " + letter + "^{" + n + "}"); } const expr = terms.join(""); return buildParts("simplify-coef-one", "Ықшамда: $" + expr + "$. Нәтижені $k \\cdot " + letter + "^{n}$ түрінде жаз.", "Упростите: $" + expr + "$. Запишите результат в виде $k \\cdot " + letter + "^{n}$.", [{ label: "k", answer: exact(k) }, { label: "n", answer: exact(n) }], "Ұқсас мүшелердің коэффициенттері қосылады: $" + expr + " = " + coefTex(k) + letter + "^{" + n + "}$.", "Коэффициенты подобных членов складываются: $" + expr + " = " + coefTex(k) + letter + "^{" + n + "}$."); } // 3aa + aa + bbb + bbb түрі: көбейтінді дәрежеге жиналады const l1 = pick(rng, ["a", "x"]), l2 = pick(rng, ["b", "y"]); const e1 = randInt(rng, 2, 3), e2 = randInt(rng, 2, 3); const rep = (l, e) => { let s = ""; for (let i = 0; i < e; i++) s += l; return s; }; const c1a = randInt(rng, 1, 4), c1b = randInt(rng, 1, 4); const c2a = randInt(rng, 1, 4), c2b = randInt(rng, 1, 4); const k = c1a + c1b, m = c2a + c2b; const expr = coefTex(c1a) + rep(l1, e1) + " + " + coefTex(c1b) + rep(l1, e1) + " + " + coefTex(c2a) + rep(l2, e2) + " + " + coefTex(c2b) + rep(l2, e2); const res = coefTex(k) + l1 + "^{" + e1 + "} + " + coefTex(m) + l2 + "^{" + e2 + "}"; return buildParts("simplify-coef-two", "Ықшамда: $" + expr + "$. Нәтижені $k \\cdot " + l1 + "^{" + e1 + "} + m \\cdot " + l2 + "^{" + e2 + "}$ түрінде жаз.", "Упростите: $" + expr + "$. Запишите результат в виде $k \\cdot " + l1 + "^{" + e1 + "} + m \\cdot " + l2 + "^{" + e2 + "}$.", [{ label: "k", answer: exact(k) }, { label: "m", answer: exact(m) }], "Бірдей көбейткіштер дәрежеге жиналады: $" + expr + " = " + res + "$.", "Одинаковые множители собираются в степень: $" + expr + " = " + res + "$."); } // ── 18. Соңғы цифр (A 1.12, 1.16; 4-мысал) ─────────────────────────────── if (kind === "last-digit") { // b^e-нің соңғы цифры: e ≥ 1 болғанда период 4-ті бөледі const lastOf = (b, e) => { const idx = ((e - 1) % 4) + 1; let r = 1; for (let i = 0; i < idx; i++) r = (r * (b % 10)) % 10; return r; }; const cycleOf = (b) => { const c = []; let r = 1; for (let i = 0; i < 4; i++) { r = (r * (b % 10)) % 10; c.push(r); } return c; }; const single = lvl === "easy" || rng() < 0.4; if (single) { const b = randInt(rng, 2, 9); const e = randInt(rng, lvl === "easy" ? 6 : 11, 40); const d = lastOf(b, e); const cyc = cycleOf(b); const q = Math.floor((e - 1) / 4), r = ((e - 1) % 4) + 1; const chain = "$" + e + " = 4 \\cdot " + q + " + " + r + "$"; return build("last-digit-one", "$" + b + "^{" + e + "}$ өрнегінің мәні қандай цифрмен аяқталады?", "Какой цифрой оканчивается значение выражения $" + b + "^{" + e + "}$?", [d, 1], "fraction", "$" + b + "$ санының дәрежелері $" + cyc.join("; ") + "$ цифрларымен аяқталады, периоды $4$. " + chain + ", сондықтан соңғы цифры — $" + d + "$.", "Степени числа $" + b + "$ оканчиваются цифрами $" + cyc.join("; ") + "$, период $4$. " + chain + ", поэтому последняя цифра — $" + d + "$."); } // қосынды: алдыңғы мүшесі әрқашан басым, сондықтан өрнек оң сан const cnt = rng() < 0.5 ? 2 : 3; const used = []; const terms = [], digits = [], signs = [], mags = []; for (let i = 0; i < cnt; i++) { let b = randInt(rng, 2, 9); while (used.indexOf(b) !== -1) b = randInt(rng, 2, 9); used.push(b); const e = i === 0 ? randInt(rng, 26, 40) : randInt(rng, 8, 20); const c = i === 0 || rng() < 0.6 ? 1 : randInt(rng, 2, 6); terms.push({ b: b, e: e, c: c }); mags.push(e * Math.log10(b) + Math.log10(c)); } // басым мүше — қалғандарының қосындысынан кемінде 10 есе үлкен let ok = true; for (let i = 1; i < cnt; i++) if (mags[0] < mags[i] + 1) ok = false; if (!ok) { terms[0].e = 40; terms[0].c = 6; for (let i = 1; i < cnt; i++) { terms[i].e = Math.min(terms[i].e, 12); terms[i].c = 1; } } let total = 0; const texts = [], expl = []; for (let i = 0; i < cnt; i++) { const t = terms[i]; const s = i === 0 ? 1 : rng() < 0.5 ? 1 : -1; signs.push(s); const d = lastOf(t.b, t.e); digits.push(d); total += s * t.c * d; const tex = (t.c === 1 ? "" : t.c + " \\cdot ") + t.b + "^{" + t.e + "}"; texts.push((i === 0 ? "" : s > 0 ? " + " : " - ") + tex); expl.push("$" + t.b + "^{" + t.e + "}$ " + "→ $" + d + "$"); } const d = ((total % 10) + 10) % 10; const expr = texts.join(""); const sumTex = signs.map((s, i) => (i === 0 ? "" : s > 0 ? " + " : " - ") + (terms[i].c === 1 ? "" : terms[i].c + " \\cdot ") + digits[i]).join(""); // Цифрлар қосындысы теріс не 9-дан үлкен болса, соңғы цифр 10-ға // толықтыру арқылы табылады: −27 → −27 + 30 = 3. const addTen = total < 0 ? 10 * Math.ceil(-total / 10) : 0; const tail = total === d ? { kz: " Жауабы — $" + d + "$.", ru: " Ответ — $" + d + "$." } : total < 0 ? { kz: " Теріс шыққандықтан $" + total + " + " + addTen + " = " + (total + addTen) + "$, соңғы цифры — $" + d + "$.", ru: " Получилось отрицательное, поэтому $" + total + " + " + addTen + " = " + (total + addTen) + "$, последняя цифра — $" + d + "$." } : { kz: " Оның соңғы цифры — $" + d + "$.", ru: " Его последняя цифра — $" + d + "$." }; return build("last-digit-sum", "$" + expr + "$ өрнегінің мәні қандай цифрмен аяқталады?", "Какой цифрой оканчивается значение выражения $" + expr + "$?", [d, 1], "fraction", "Әр мүшенің соңғы цифрын табамыз: " + expl.join(", ") + ". Сонда $" + sumTex + " = " + total + "$." + tail.kz, "Находим последнюю цифру каждого слагаемого: " + expl.join(", ") + ". Тогда $" + sumTex + " = " + total + "$." + tail.ru); } // ── 19. Таңба бойынша салыстыру (B 1.10) ───────────────────────────────── // Есептемей шешіледі: теріс санның жұп дәрежесі оң, тақ дәрежесі теріс. // Сондықтан (−9,2)¹³ сияқты алып сандар ЕШҚАШАН есептелмейді — тек таңбасы // мен «модулі бірден үлкен бе» деген белгісі салыстырылады. if (kind === "cmp-zero") { const bigBases = [[11, 10], [12, 10], [15, 10], [27, 10], [92, 10], [2, 1], [3, 1], [5, 1]]; const smallBases = [[1, 10], [3, 10], [5, 10], [7, 10], [9, 10], [1, 2], [1, 4], [2, 3]]; const mkSide = (baseR, n, outerMinus) => { let s = baseR[0] < 0 && n % 2 === 1 ? -1 : 1; if (outerMinus) s = -s; const mag = Math.abs(baseR[0]) > baseR[1] ? 1 : Math.abs(baseR[0]) === baseR[1] ? 0 : -1; const body = isTerm(baseR[1]) ? decOf(baseR) : fracOf(baseR); const tex = (outerMinus ? "-" : "") + (baseR[0] < 0 || baseR[1] !== 1 ? brk(body) : body) + "^{" + n + "}"; return { tex: tex, sgn: s, mag: mag }; }; const expo = () => (lvl === "easy" ? randInt(rng, 2, 5) : randInt(rng, 2, 13)); const form = pick(rng, lvl === "easy" ? ["z1", "z1", "z1", "z2", "z2", "z4"] : ["z1", "z2", "z3", "z1", "z2", "z4"]); const ruleKz = "Теріс санның жұп дәрежесі — оң сан, тақ дәрежесі — теріс сан."; const ruleRu = "Чётная степень отрицательного числа положительна, нечётная — отрицательна."; if (form === "z4") { const n = expo(); return buildSign("cmp-zero-zero", "Есептемей салыстыр.", "Сравните, не вычисляя.", "0^{" + n + "}", "0", "=", "Нөлдің кез келген натурал дәрежесі нөлге тең: $0^{" + n + "} = 0$.", "Любая натуральная степень нуля равна нулю: $0^{" + n + "} = 0$."); } if (form === "z1") { const pos = pick(rng, rng() < 0.5 ? bigBases : smallBases); const negBase = rng() < 0.5; // (−0,5)³ пе, әлде 0,5³ пе const outerMinus = rng() < 0.4; // −0,5³ — жақшасыз минус const side = mkSide(negBase ? [-pos[0], pos[1]] : pos, expo(), outerMinus); return buildSign("cmp-zero-vs0", "Есептемей салыстыр.", "Сравните, не вычисляя.", side.tex, "0", side.sgn > 0 ? ">" : "<", ruleKz + " $" + side.tex + "$ — " + (side.sgn > 0 ? "оң" : "теріс") + " сан.", ruleRu + " $" + side.tex + "$ — " + (side.sgn > 0 ? "положительное" : "отрицательное") + " число."); } if (form === "z2") { // таңбалары әртүрлі — модульдері маңызды емес const b1 = pick(rng, bigBases), b2 = pick(rng, bigBases); const posFirst = rng() < 0.5; const e1 = posFirst ? 2 * randInt(rng, 1, 6) : 2 * randInt(rng, 1, 6) + 1; const e2 = posFirst ? 2 * randInt(rng, 1, 6) + 1 : 2 * randInt(rng, 1, 6); const s1 = mkSide([-b1[0], b1[1]], e1, false); const s2 = mkSide([-b2[0], b2[1]], e2, false); return buildSign("cmp-zero-signs", "Есептемей салыстыр.", "Сравните, не вычисляя.", s1.tex, s2.tex, s1.sgn > s2.sgn ? ">" : "<", ruleKz + " Бірі оң, екіншісі теріс — есептеудің қажеті жоқ.", ruleRu + " Одно положительное, другое отрицательное — вычислять не нужно."); } // z3: таңбалары бірдей, бірақ бірінің модулі 1-ден үлкен, екіншісінікі кіші const big = pick(rng, bigBases), small = pick(rng, smallBases); const even = rng() < 0.5; const e1 = even ? 2 * randInt(rng, 1, 5) : 2 * randInt(rng, 1, 5) + 1; const e2 = even ? 2 * randInt(rng, 1, 5) : 2 * randInt(rng, 1, 5) + 1; const s1 = mkSide([-big[0], big[1]], e1, false); const s2 = mkSide([-small[0], small[1]], e2, false); // екеуі де оң (жұп дәреже) → модулі үлкені үлкен; екеуі де теріс → керісінше const sign = even ? ">" : "<"; return buildSign("cmp-zero-mag", "Есептемей салыстыр.", "Сравните, не вычисляя.", s1.tex, s2.tex, sign, ruleKz + " Модулі $1$-ден үлкен санның дәрежесі $1$-ден үлкен, модулі $1$-ден кіші санның дәрежесі $1$-ден кіші.", ruleRu + " Степень числа с модулем больше $1$ больше $1$, а с модулем меньше $1$ — меньше $1$."); } // ── 20. Мәндерін салыстыру (A 1.15) ────────────────────────────────────── if (kind === "cmp-value") { const a = randInt(rng, 2, 9), n = randInt(rng, 2, lvl === "easy" ? 3 : 4); const b = randInt(rng, 2, 9), k = randInt(rng, 2, lvl === "easy" ? 3 : 4); const pa = ipow(a, n), pb = ipow(b, k); const m = randInt(rng, 2, 600); const v1 = pa - m; const rel = pick(rng, ["<", "<", ">", ">", "="]); const delta = rel === "=" ? 0 : randInt(rng, 1, 120) * (rel === "<" ? 1 : -1); const v2 = v1 + delta; const t = pb - v2; const leftTex = a + "^{" + n + "} - " + m; const rightTex = b + "^{" + k + "} " + (t >= 0 ? "- " + t : "+ " + -t); return buildSign(rel === "=" ? "cmp-value-eq" : "cmp-value", "Өрнектердің мәндерін салыстыр.", "Сравните значения выражений.", leftTex, rightTex, rel, "$" + leftTex + " = " + v1 + "$, $" + rightTex + " = " + v2 + "$.", "$" + leftTex + " = " + v1 + "$, $" + rightTex + " = " + v2 + "$."); } // ── 21. Дәрежелерді салыстыру (A 1.18, 1.19) ───────────────────────────── // Көбейтіндіні дәреже түрінде жазып барып салыстырамыз (§2-ге дайындық). if (kind === "cmp-power") { // «=» жауабының үлесі үштен бірден аспауы керек, әйтпесе оқушы ойланбай // теңдік таңдап құтылады: модулі 1-ден кіші негіз әрқашан «=» береді, // сондықтан ондай негіз сирек алынады. const intBase = rng() < 0.75; const base = intBase ? [randInt(rng, 2, 6) * (rng() < 0.35 ? -1 : 1), 1] : pick(rng, [[1, 2], [5, 4], [-5, 4], [3, 2], [-3, 2], [2, 3]]); const absBig = Math.abs(base[0]) > base[1]; const n = randInt(rng, 2, 4), extra = randInt(rng, 1, 3); const e1 = n + extra; // модулі 1-ден кіші негіз үшін көрсеткіштер тең болады (§1 шеңберінде) const e2 = !absBig || rng() < 0.2 ? e1 : e1 + (rng() < 0.5 ? 1 : -1); const bodyTex = base[0] < 0 || base[1] !== 1 ? brk(base[1] === 1 ? String(base[0]) : (isTerm(base[1]) ? decOf(base) : fracOf(base))) : String(base[0]); const leftTex = extra === 1 ? bodyTex + "^{" + n + "} \\cdot " + bodyTex : bodyTex + "^{" + n + "} \\cdot " + bodyTex + "^{" + extra + "}"; const rightTex = bodyTex + "^{" + e2 + "}"; const negBase = base[0] < 0; const s1 = negBase && e1 % 2 === 1 ? -1 : 1; const s2 = negBase && e2 % 2 === 1 ? -1 : 1; let sign; if (s1 !== s2) sign = s1 > s2 ? ">" : "<"; else if (e1 === e2) sign = "="; else { const magBigger = absBig ? e1 > e2 : e1 < e2; // |b|<1 болса көрсеткіш өскенде модуль кемиді sign = (s1 > 0 ? magBigger : !magBigger) ? ">" : "<"; } const facs = []; for (let i = 0; i < e1; i++) facs.push(bodyTex); return buildSign(intBase ? "cmp-power-int" : "cmp-power-frac", "Салыстыр.", "Сравните.", leftTex, rightTex, sign, "$" + leftTex + " = " + facs.join(" \\cdot ") + " = " + bodyTex + "^{" + e1 + "}$, ал оң жағында $" + bodyTex + "^{" + e2 + "}$.", "$" + leftTex + " = " + facs.join(" \\cdot ") + " = " + bodyTex + "^{" + e1 + "}$, а справа $" + bodyTex + "^{" + e2 + "}$."); } // ── 22. Куб пен квадрат (A §1 кіріспе есебі) ───────────────────────────── if (kind === "word-geo") { const form = pick(rng, lvl === "easy" ? ["cube", "square"] : ["pool", "cube", "square", "cube-back", "square-back"]); if (form === "pool") { const k = randInt(rng, 11, 25); // қыры k/10 метр = k дециметр const sTex = decOf(rat(k, 10)); const liters = ipow(k, 3); return build("word-geo-pool", "Қыры $1$ дм куб пішінді ыдыстағы сұйықтың мөлшері $1$ литрге тең. Қыры $" + sTex + "$ м куб пішінді бассейнге неше литр су сыяды?", "В сосуд в форме куба с ребром $1$ дм входит $1$ литр жидкости. Сколько литров воды вмещает бассейн в форме куба с ребром $" + sTex + "$ м?", [liters, 1], "fraction", "$" + sTex + "$ м $= " + k + "$ дм, көлемі $" + k + "^{3} = " + liters + "$ дм³, яғни $" + liters + "$ литр.", "$" + sTex + "$ м $= " + k + "$ дм, объём $" + k + "^{3} = " + liters + "$ дм³, то есть $" + liters + "$ литров."); } if (form === "cube") { const s = randInt(rng, 2, 12); return build("word-geo-cube", "Қыры $" + s + "$ см кубтың көлемін тап (см³).", "Найдите объём куба с ребром $" + s + "$ см (см³).", [ipow(s, 3), 1], "fraction", "$V = a^{3} = " + s + "^{3} = " + ipow(s, 3) + "$", "$V = a^{3} = " + s + "^{3} = " + ipow(s, 3) + "$"); } if (form === "square") { const s = randInt(rng, 4, 30); return build("word-geo-square", "Қабырғасы $" + s + "$ см квадраттың ауданын тап (см²).", "Найдите площадь квадрата со стороной $" + s + "$ см (см²).", [s * s, 1], "fraction", "$S = a^{2} = " + s + "^{2} = " + s * s + "$", "$S = a^{2} = " + s + "^{2} = " + s * s + "$"); } if (form === "cube-back") { const s = randInt(rng, 2, 12); return build("word-geo-cube-back", "Кубтың көлемі $" + ipow(s, 3) + "$ см³. Оның қырын тап (см).", "Объём куба равен $" + ipow(s, 3) + "$ см³. Найдите его ребро (см).", [s, 1], "fraction", "$a^{3} = " + ipow(s, 3) + "$, ал $" + s + "^{3} = " + ipow(s, 3) + "$, сондықтан $a = " + s + "$.", "$a^{3} = " + ipow(s, 3) + "$, а $" + s + "^{3} = " + ipow(s, 3) + "$, поэтому $a = " + s + "$."); } const s = randInt(rng, 4, 30); return build("word-geo-square-back", "Квадраттың ауданы $" + s * s + "$ см². Оның қабырғасын тап (см).", "Площадь квадрата равна $" + s * s + "$ см². Найдите его сторону (см).", [s, 1], "fraction", "$a^{2} = " + s * s + "$, ал $" + s + "^{2} = " + s * s + "$, сондықтан $a = " + s + "$.", "$a^{2} = " + s * s + "$, а $" + s + "^{2} = " + s * s + "$, поэтому $a = " + s + "$."); } // ── 23. Орташа мән және пайыз (A 1.10, 1.14) ───────────────────────────── if (kind === "word-stat") { const form = pick(rng, ["mean", "range", "percent"]); if (form === "percent") { // A 1.14: x = (1/2)ⁿ · 4ᵏ · 3ᵐ, x-тің 25%-ы const nq = randInt(rng, 2, 4); const k = randInt(rng, nq, 4); const m = randInt(rng, 2, 4); const x = ipow(2, 2 * k - nq) * ipow(3, m); const ans = x / 4; const expr = "\\left(\\frac{1}{2}\\right)^{" + nq + "} \\cdot 4^{" + k + "} \\cdot 3^{" + m + "}"; return build("word-stat-percent", "$x = " + expr + "$ болса, $x$ санының $25\\%$-ын тап.", "Найдите $25\\%$ числа $x$, если $x = " + expr + "$.", [ans, 1], "fraction", "$x = " + expr + " = " + x + "$, ал $" + x + " : 4 = " + ans + "$.", "$x = " + expr + " = " + x + "$, а $" + x + " : 4 = " + ans + "$."); } // A 1.10: жеті күндегі тетік саны. Орташасы бүтін, құлашы 4-ке еселі. const mean = randInt(rng, 60, 95); const t = randInt(rng, 1, 5); const half = 2 * t; // Ортасы дәл mean, құлашы дәл 4t болуы керек: шеткі екі сан ± half, // қалған бесеуінің ауытқулары ішінде жатып, қосындысы нөл болады. let devs = [0, 0, 0, 0, 0]; for (let tryN = 0; tryN < 30; tryN++) { const four = []; let sum = 0; for (let i = 0; i < 4; i++) { const d = randInt(rng, -(half - 1), half - 1); four.push(d); sum += d; } if (sum >= -(half - 1) && sum <= half - 1) { four.push(-sum); devs = four; break; } } const nums = shuffle(rng, [mean + half, mean - half].concat(devs.map((d) => mean + d))); const list = nums.join("; "); if (form === "mean") { return build("word-stat-mean", "Кәсіпорынның жеті күнде дайындаған тетіктер саны: $" + list + "$. Берілген сандардың арифметикалық ортасының квадратын тап.", "Количество деталей, изготовленных предприятием за семь дней: $" + list + "$. Найдите квадрат среднего арифметического этих чисел.", [mean * mean, 1], "fraction", "Орташа мәні: $" + nums.join(" + ") + " = " + mean * 7 + "$, $" + mean * 7 + " : 7 = " + mean + "$. Квадраты: $" + mean + "^{2} = " + mean * mean + "$.", "Среднее: $" + nums.join(" + ") + " = " + mean * 7 + "$, $" + mean * 7 + " : 7 = " + mean + "$. Квадрат: $" + mean + "^{2} = " + mean * mean + "$."); } const range = 2 * half; return build("word-stat-range", "Кәсіпорынның жеті күнде дайындаған тетіктер саны: $" + list + "$. Берілген сандардың құлаш мәнінің $25\\%$-ының төртінші дәрежесін тап.", "Количество деталей, изготовленных предприятием за семь дней: $" + list + "$. Найдите четвёртую степень $25\\%$ размаха этих чисел.", [ipow(t, 4), 1], "fraction", "Құлашы: $" + (mean + half) + " - " + (mean - half) + " = " + range + "$. Оның $25\\%$-ы: $" + range + " : 4 = " + t + "$. Төртінші дәрежесі: $" + t + "^{4} = " + ipow(t, 4) + "$.", "Размах: $" + (mean + half) + " - " + (mean - half) + " = " + range + "$. Его $25\\%$: $" + range + " : 4 = " + t + "$. Четвёртая степень: $" + t + "^{4} = " + ipow(t, 4) + "$."); } // Мұнда жету мүмкін емес: жоғарыдағы тармақтар барлық kind-ты қамтиды. // Дегенмен генератор ешқашан құламауы керек — қарапайым дәрежені қайтарамыз. const fb = randInt(rng, 2, 9), fe = randInt(rng, 2, 3); return build("fallback", "Есепте: $" + fb + "^{" + fe + "}$", "Вычислите: $" + fb + "^{" + fe + "}$", [ipow(fb, fe), 1], "fraction", "$" + fb + "^{" + fe + "} = " + ipow(fb, fe) + "$", "$" + fb + "^{" + fe + "} = " + ipow(fb, fe) + "$"); }, });